Question

13．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，PA=3，AD=2，AB=2$\sqrt{3}$，BC=6．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求平面PBD与平面BDA的夹角．

Answer 1

分析 （1）分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能证明BD⊥平面PAC．
（2）求出平面BDP的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能求出平面PBD与平面BDA的夹角．

解答 证明：（1）∵在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，PA⊥平面ABCD，
∴由题可知，AP、AD、AB两两垂直，
分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（$\sqrt{3}$，0，0），C（2$\sqrt{3}$，6，0），D（0，2，0），P（0，0，3），
$\overrightarrow{AP}$=（0，0，3），$\overrightarrow{AC}$=（2$\sqrt{3}$，6，0），$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），
∴$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AP}$=0，$\overrightarrow{BD}•\overrightarrow{AC}$=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，
又PA∩AC=A，∴BD⊥平面PAC，
解：（2）设平面BDP的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∵$\overrightarrow{BD}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{BP}$=（-2$\sqrt{3}$，0，3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BD}=-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=-2\sqrt{3}x+3z=0}\end{array}\right.$，取x=$\sqrt{3}$，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，3，2$），
平面ABD的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
设平面PBD与平面BDA的夹角为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{16}}$=$\frac{1}{2}$，∴θ=60°，
∴平面PBD与平面BDA的夹角为60°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．