Question

已知点P为椭圆C：

x2

4

+

y2

b2

=1 （b＞0）上的动点，且|OP|的最小值为1，其中O为坐标原点，则b=

1

．

Answer 1

分析：根据椭圆的参数方程，设P（2cosα，bsinα），可得|OP|²=

1

2

（b²+4）+（2-

1

2

b²）cos2α．因为|OP|的最小值为1，所以

1

2

（b²+4）-|2-

1

2

b²|=1，再加以讨论即可解出b的值为1．

解答：解：∵点P为椭圆C：

x2

4

+

y2

b2

=1 （b＞0）上的动点，
∴设P（2cosα，bsinα），可得
|OP|²=4cos²α+b²sin²α=

1

2

（b²+4）+（2-

1

2

b²）cos2α
∵|OP|的最小值为1，得|OP|²的最小值也为1
∴

1

2

（b²+4）-|2-

1

2

b²|=1
当b²≥4时，方程化为

1

2

（b²+4）-（

1

2

b²-2）=1得4=1，无实数解；
当b²＜4时，

1

2

（b²+4）-（2-

1

2

b²）=1，即b²=1，解之得b=1
综上所述，所求b的值为1
故答案为：1

点评：本题给出椭圆上的动点P到原点的距离最小值为1，求参数b的值．着重考查了椭圆的标准方程和简单几何性质、曲线上的点到原点最短距离求法等知识，属于中档题．