Question

已知函数f（x）=x²-（2a-1）x-3
（Ⅰ）当a=2时，若∈[-2，3]，求函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若函数f（x）在[-2，3]上的最小值为g（a）．
①求函数g（a）的表达式；
②是否存在实数a，使得g（a）=1，若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数在闭区间上的最值,函数解析式的求解及常用方法,函数的零点

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=(x-

3

2

)2-

21

4

，若x∈[-2，3]，利用二次函数的性质求得它的最值，可得函数的值域．
（Ⅱ）由 f（x）=(x-

2a-1

2

)2-

4a2-4a+13

4

，x∈[-2，3]，再分对称轴在此区间的左侧、中间、由侧三种情况，分别求得f（x）得最小值g（a）的解析式，根据g（a）=1，分类讨论，分别求得a的值，综合可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）当a=2时，函数f（x）=x²-3x-3=(x-

3

2

)2-

21

4

，若x∈[-2，3]，
则函数f（x）的最小值为f（

3

2

）=-

21

4

；最大值为f（-2）=7，故函数的值域为[-

21

4

，7]．
（Ⅱ）∵f（x）=x²-（2a-1）x-3=(x-

2a-1

2

)2-

4a2-4a+13

4

，x∈[-2，3]，
（1）当

2a-1

2

≤-2，即a≤-

3

2

时，函数f（x）的最小值为f（-2）=4a-1；
（2）当-2＜

2a-1

2

≤3，即-

3

2

＜a≤

7

2

时，函数f（x）的最小值为f（

2a-1

2

）=-

4a2-4a+13

4

；
（3）当

2a-1

2

＞3，即a＞

7

2

时，函数f（x）的最小值为f（3）=9-6a；
综上可得，①g（a）=

4a-1，a≤- 3 2 - 4a2-4a+13 4 ，- 3 2 ＜a≤ 7 2 9-9a，a＞ 7 2

．
②当a≤-

3

2

时，由4a-1=1，得a=

1

2

，∴此时a∈∅；
当-

3

2

＜a≤

7

2

时，由-

4a2-4a+13

4

=1，得4a²-4a+17=0，∵△＜0得a∈∅，∴此时a∈∅；
当a＞

7

2

时，由9-6a=1，得a=

4

3

，∴此时，a∈∅；
综上，不存在实数a，使得g（a）=1成立．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属基础题．