Question

（2010•宿州三模）设数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=1，an=

Sn

n

+2(n-1)(n∈N+)．
（1）求证：数列{

Sn

n

}为等差数列；
（2）设数列{

1

anan+1

}的前n项和为T_n，证明：

1

5

≤Tn＜

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由题意：na_n=S_n+2n（n-1），将a_n=S_n-S_n-1代换可得（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），变形得

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=2，从而数列{

Sn

n

}为等差数列；
（2）先求出S_n，然后根据a_n=S_n-S_n-1求出a_n，然后利用裂项求和法求出T_n，根据T_n为增函数，可求出T_n为的范围．

解答：解：（1）证明：由题意：na_n=S_n+2n（n-1），∴n（S_n-S_n-1）=S_n+2n（n-1）（n∈N₊，n≥2）…（2分）
即：（n-1）S_n-nS_n-1=2n（n-1），∴

Sn

n

-

Sn-1

n-1

=2，
所以数列{

Sn

n

}为等差数列；                                             …（6分）
（2）由（1）得：

Sn

n

=1+(n-1)×2，∴S_n=2n²-n，
∴a_n=S_n-S_n-1=2n²-n-2（n-1）²+（n-1）=4n-3，（n∈N₊，n≥2）…（8分）

1

anan+1

=

1

(4n-3)(4n+1)

=

1

4

(

1

4n-3

-

1

4n+1

)
∴Tn=

1

4

(1-

1

5

+

1

5

-

1

9

+…

1

4n-3

-

1

4n+1

)=

1

4

(1-

1

4n+1

)＜

1

4

，…（10分）
又T_n为增函数，∴Tn≥T1=

1

5

，∴

1

5

≤Tn＜

1

4

…（13分）

点评：本题主要考查了等差数列的判定，以及利用裂项求和法进行求和，同时考查了利用单调性求范围等有关知识，属于中档题．