Question

3．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|sin（\frac{π}{2}x+\frac{π}{4}）|，x＜0}\\{lo{g}_{a}x+1（a＞0且a≠1），x＞0}\end{array}\right.$的图象上关于y轴对称点恰好有3对，则实数a的取值范围是（$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{5}$）．

Answer 1

分析 求出函数f（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|，（x＜0）关于y轴对称的解析式，利用数形结合即可得到结论．

解答 解：若x＞0，则-x＜0，此时f₁（-x）=|sin（-$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，
若函数关于y轴对称，则f₁（-x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|=f₁（x），
即函数f（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$）|，x＜0时关于y轴对称的函数为：
f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，x＞0，
作出函数f（x）的图象以及y=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|的图象如图：
∵函数f（x）=log_ax+1恒过定点（1，1），
∴若a＞1，则f（x）=log_ax+1与f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|，x＞0，只有一个交点，不满足条件．
若0＜a＜1，由f₁（x）=|sin（$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$）|=0得$\frac{π}{2}$x-$\frac{π}{4}$=kπ，即x=2k+$\frac{1}{2}$，
则k=1时，x=2+$\frac{1}{2}$=$\frac{5}{2}$，即第2个零点为$\frac{5}{2}$，
k=2时，x=4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$，即第3个零点为$\frac{9}{2}$，
若两个函数有3个交点，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{5}{2}）＞0}\\{f（\frac{9}{2}）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{5}{2}+1＞0}\\{lo{g}_{a}\frac{9}{2}+1＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{a}\frac{5}{2}＞-1}\\{lo{g}_{a}\frac{9}{2}＜-1}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{\frac{5}{2}＜\frac{1}{a}}\\{\frac{9}{2}＞\frac{1}{a}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{a＜\frac{2}{5}}\\{a＞\frac{2}{9}}\end{array}\right.$，即$\frac{2}{9}$＜a＜$\frac{2}{5}$，
故答案为：（$\frac{2}{9}$，$\frac{2}{5}$）

点评 本题主要考查分段函数的应用，作出函数关于y对称的图象，利用数形结合的思想是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．