Question

11．若直线y=x+m与曲线y=$\sqrt{4x-{x^2}}$有公共点，则m的取值范围是[-4，2$\sqrt{2}$-2]．

Answer 1

分析 曲线y=$\sqrt{4x-{x^2}}$表示以点（2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆，而直线y=x+m的斜率为1，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象，数形结合可得．

解答 解：y=$\sqrt{4x-{x^2}}$整理可得（x-2）²+y²=4，
故曲线y=$\sqrt{4x-{x^2}}$表示以点（2，0）为圆心，2为半径的圆的上半圆，
而直线y=x+m的斜率为1，截距为m，在同一个坐标系中作出它们的图象：
直线与曲线相切可得$\frac{|2+m|}{\sqrt{2}}$=2，解得m=2$\sqrt{2}$-2，或m=-2$\sqrt{2}$-2，（舍去）
直线过点（4，0），m=-4
故直线y=x+m与曲线y=$\sqrt{4x-{x^2}}$有公共点，m的取值范围是[-4，2$\sqrt{2}$-2]．
故答案为：[-4，2$\sqrt{2}$-2]

点评 本题考查直线与圆相交的性质，数形结合是解决问题的关键，属中档题．