Question

7．已知函数$f（x）=2lnx+ax+\frac{1}{x}（{a∈R}）$在x=2处的切线经过点（-4，2ln2）
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若不等式$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}＞m-\frac{1}{x}$恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过求导，将点（-4，2ln2）代入切线方程可知a=-1，进而利用导数的正负情况即可判断出单调性；
（2）通过参数分离可问题转化为$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）＞m$，设$g（x）=\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）=\frac{1}{{1-{x^2}}}f（x）$，结合（1）可知g（x）＞0，通过利用反证法可证明g（x）的值域为（0，+∞），进而可得结论．

解答 解：（1）由题意得$f'（x）=\frac{2}{x}+a-\frac{1}{x^2}，x＞0$，
∴$f'（2）=a+\frac{3}{4}$，
∴f（x）在x=2处的切线方程为y-f（2）=f'（2）（x-2），
即$y=（{a+\frac{3}{4}}）x+2ln2-1$，
∵点（-4，2ln2）在该切线上，∴a=-1，
∴$f'（x）=\frac{2}{x}-1-\frac{1}{x^2}=\frac{{-{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≤0$，
函数f（x）在（0，+∞）单调递减；
（2）由题意知x＞0且x≠1，
原不等式$\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}＞m-\frac{1}{x}$等价于$\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）＞m$，
设$g（x）=\frac{1}{{1-{x^2}}}（{2lnx-x+\frac{1}{x}}）=\frac{1}{{1-{x^2}}}f（x）$，
由（1）得f（x）在（0，+∞）单调递减，且f（1）=0，
当0＜x＜1时，f（x）＞0，g（x）＞0；当x＞1时，f（x）＜0，g（x）＞0；
∴g（x）＞0，
假设存在正数b，使得g（x）＞b＞0，
若0＜b≤1，当$x＞\frac{1}{b}$时，$g（x）=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＜\frac{1}{x}＜b$；
若b＞1，当$\frac{1}{b}＜x＜1$时，$g（x）=\frac{2lnx}{{1-{x^2}}}+\frac{1}{x}＜\frac{1}{x}＜b$；
∴不存在这样的正数b，使得g（x）＞b＞0，∴g（x）的值域为（0，+∞），
∴m的取值范围为（-∞，0]．

点评 本题是一道关于利用导数的综合题，涉及参数分离等技巧，考查了反证法等基础证明方法，考查了运算求解能力，注意解题方法的积累，属于难题．