Question

19．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间；
利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换可得g（x）的解析式，再利用余弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上的最大值和最小值，并求出取得最值时的x值．

解答 解：（Ⅰ）函数f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{π}{4}$）+sin2x-1=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{2}$）+sin2x-1=$\sqrt{3}$cos2x+sin2x-1=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1，
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{π}{12}$，可得函数的增区间为[kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{π}{12}$]，k∈Z．
（Ⅱ）若将f（x）的图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位，得到函数g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）-1=2cos（2x+$\frac{π}{6}$）-1的图象，
在区间[0，$\frac{π}{2}$]上，2x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{7π}{6}$]，故当2x+$\frac{π}{6}$=π时，即x=$\frac{5π}{12}$时，函数取得最小值为-2-1=-3；
当 2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$时，即x=0时，函数取得最大值为$\sqrt{3}$-1．

点评 本题主要考查三角恒等变换，y=Asin（ωx+φ）的图象变换，余弦函数的单调性、定义域和值域，属于中档题．