Question

18．已知函数f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$（t-x），其中t为正常数．
（1）求函数f₁（x）在（0，+∞）上的最大值；
（2）设数列{a_n}满足：a₁=$\frac{5}{3}$，3a_n+1=a_n+2，完成下面两个问题：
①求证：对?x＞0，$\frac{1}{{a}_{n}}$≥f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）（n∈N^*）；
②对?_n∈N*，你能否比较$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$与$\frac{{n}^{2}}{n+1}$的大小？若能，请给予证明；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）把已知函数求导，得到函数的单调区间，并求得函数的最大值；
（2）①由已知数列递推式可得数列{a_n-1}是等比数列，求其通项公式后可得数列{a_n}的通项公式，在求出f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）得最大值证得结论；
②由①可得对?x＞0，都有$\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{n}}-x）$，作和后放缩得答案．

解答 （1）解：由函数f₁（x）=$\frac{1}{1+x}$-$\frac{1}{（1+x）^{2}}$（t-x），得${f}_{1}′（x）=\frac{2（t-x）}{（1+x）^{3}}$，
由f₁′（x）＞0，得0＜x＜t，由f₁′（x）＜0，得x＞t，
则f₁（x）在（0，t）上为增函数，在（t，+∞）上为减函数，
∴${f}_{1}（x）_{max}={f}_{1}（t）=\frac{1}{1+t}$；
（2）①证明：由3a_n+1=a_n+2，得${a}_{n+1}-1=\frac{1}{3}（{a}_{n}-1）$，又a₁-1=$\frac{2}{3}$，
则数列{a_n-1}是等比数列，且${a}_{n}-1=\frac{2}{3}•（\frac{1}{3}）^{n-1}=\frac{2}{{3}^{n}}$，
∴${a}_{n}=\frac{2}{{3}^{n}}+1=\frac{2+{3}^{n}}{{3}^{n}}$，
由（1）知，${f}_{\frac{2}{{3}^{n}}}（x）_{max}$=f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（$\frac{2}{{3}^{n}}$）=$\frac{1}{1+\frac{2}{{3}^{n}}}=\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+2}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴对?x＞0，$\frac{1}{{a}_{n}}$≥f${\;}_{\frac{2}{{3}^{n}}}$（x）（n∈N^*）；
②解：$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．
证明：由①知，对?x＞0，都有$\frac{1}{{a}_{n}}≥\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{n}}-x）$，
于是，$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\sum_{k=1}^{n}[\frac{1}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{{3}^{k}}-x）]$=$\frac{n}{1+x}-\frac{1}{（1+x）^{2}}（\frac{2}{3}+\frac{2}{{3}^{2}}+…+\frac{2}{{3}^{n}}-nx）$，
特别地，令$1-\frac{1}{{3}^{n}}-n{x}_{0}=0$，即${x}_{0}=\frac{1}{n}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）$＞0，
有$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$≥$\frac{n}{1+{x}_{0}}$=$\frac{n}{1+\frac{1}{n}（1-\frac{1}{{3}^{n}}）}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1-\frac{1}{{3}^{n}}}$＞$\frac{{n}^{2}}{n+1}$．

点评 本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，训练了利用放缩法证明数列不等式，难度较大．