Question

8．定义在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的函数f（x）=1+sinxcos2x，在x=θ时取得最小值，则sinθ=$-\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 求函数f（x）进行化简，利用导函数研究f（x）的单调性，求出在区间[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的函数f（x）的最小值是的角，可求sinθ的值．

解答 解：函数f（x）=1+sinxcos2x，
化简得：f（x）=1+sinx（1-2sin²x）=sinx-2sin³x+1．
令sinx=t，x∈[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]⇒sinx∈[$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]，
则f（x）=sinx-2sin³x+1转化为g（t）=t-2t³+1，$-\frac{\sqrt{2}}{2}$≤t$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$．
那么：g′（t）=1-6t²．
令g′（t）=0，
解得：t=$\frac{1}{\sqrt{6}}$或t=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$
由导函数的性质可知：g（t）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{\sqrt{6}}{6}$）是单调递减，在（$-\frac{\sqrt{6}}{6}$，$\frac{\sqrt{6}}{6}$）是单调递增，
故而当t=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$时，g（t）取得最小值，即f（x）取得最小值；
∵sinx=t，即sinx=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$．
所以得在x=θ时取得最小值，则sinθ=$-\frac{1}{\sqrt{6}}$．
故答案为：$-\frac{\sqrt{6}}{6}$．

点评 本题利用导函数研究函数的单调性的问题，利用了换元的思想．属于中档题．