题目内容

7．设正有理数a1是$\sqrt{3}$的一个近似值，令a2=1+$\frac{2}{1+{a}_{1}}$，求证：
（1）$\sqrt{3}$介于a1与a2之间；
（2）a2比a1更接近于$\sqrt{3}$．

分析 （1）利用作差法，再因式分解，确定其符号，即可得到结论；
（2）利用作差法，判断|a2-$\sqrt{3}$|-|a1-$\sqrt{3}$|＜0，即可得到结论

解答 证明：（1）a2-$\sqrt{3}$=1+$\frac{2}{1+{a}_{1}}$-$\sqrt{3}$=$\frac{（1-\sqrt{3}）（{a}_{1}-\sqrt{3}）}{1+{a}_{1}}$，
∵若a1＞$\sqrt{3}$，∴a1-$\sqrt{3}$＞0，而1-$\sqrt{3}$＜0，
∴a2＜$\sqrt{3}$
∵若a1＜$\sqrt{3}$，∴a1-$\sqrt{3}$＜0，而1-$\sqrt{3}$＜0，
∴a2＞$\sqrt{3}$，
故$\sqrt{3}$介于a1与a2之间；
（2）|a2-$\sqrt{3}$|-|a1-$\sqrt{3}$|=$\frac{（1-\sqrt{3}）（{a}_{1}-\sqrt{3}）}{1+{a}_{1}}$-|a1-$\sqrt{3}$|=|a1-$\sqrt{3}$|×$\frac{\sqrt{3}-2-{a}_{1}}{1+{a}_{1}}$，
∵a1＞0，$\sqrt{3}$-2＜0，|a1-$\sqrt{3}$|＞0，
∴|a2-$\sqrt{3}$|-|a1-$\sqrt{3}$|＜0
∴|a2-$\sqrt{3}$|＜|a1-$\sqrt{3}$|
∴a2比a1更接近于$\sqrt{3}$．

点评 本题考查不等式的证明，考查作差法的运用，确定差的符号是关键．

练习册系列答案
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