Question

20．如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是梯形，AB∥CD，∠DAB=60°，AB=AD=2CD，侧面PAD⊥底面ABCD，且△PAD为等腰直角三角形，∠APD=90°，M为AP的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PB；
（Ⅱ）求证：DM∥平面PCB；
（Ⅲ）求PB与平面ABCD所成角的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD，推导出PG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面PBG，由此能证明AD⊥PB．
（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN，推导出四边形MNCD是平行四边形，由此能证明DM∥平面PCB．
（Ⅲ）推导出PG⊥底面ABCD，则∠PBG为PB与平面ABCD所成的角，由此能求出PB与平面ABCD所成的角．

解答 （本小题满分13分）
证明：（Ⅰ）取AD的中点G，连结PG，GB，BD．
∵△PAD为等腰直角三角形，且∠APD=90°，
∴PA=PD，∴PG⊥AD．
∵AB=AD，且∠DAB=60°，∴△ABD是等边三角形．
∴BG⊥AD．又PG∩BG=G，∴AD⊥平面PBG．
∴AD⊥PB． …（4分）
（Ⅱ）取PB的中点N，连结MN，CN．
∵M，N分别是PA，PB的中点，
∴MN∥AB，MN=$\frac{1}{2}$AB．
又AB∥CD，CD=$\frac{1}{2}AB$，
∴MN∥CD，MN=CD．
∴四边形MNCD是平行四边形．
∴DM∥CN．
又CN?平面PCB，DM?平面PCB，
∴DM∥平面PCB．   …（8分）
解：（Ⅲ）∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，又PG⊥AD，
∴PG⊥底面ABCD．
∴∠PBG为PB与平面ABCD所成的角．
设CD=a，则PG=a，BG=$\sqrt{3}a$．
在Rt△PBG中，∵tan∠PBG=$\frac{PG}{BG}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PBG=30°．
∴PB与平面ABCD所成的角为30°．…（13分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查线面垂直的证明，考查线面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．