Question

11．已知二次函数y=ax²+（16-a³）x-16a²（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，则线段AB长度最小值是12．

Answer 1

分析 分别设出A、B的坐标，根据韦达定理求出x₁+x₂，x₁x₂，代入|AB|=|x₂-x₁|，求出线段AB的长度即可．

解答 解：设A（x₁，0），B（x₂，0），
则x₁+x₂=$\frac{{a}^{3}-16}{a}$，x₁ x₂=-16a，
∴|AB|=|x₂-x₁|
=$\sqrt{{{（x}_{1}{+x}_{2}）}^{2}-{{4x}_{1}x}_{2}}$
=$\sqrt{\frac{{{（a}^{3}-16）}^{2}}{{a}^{2}}-4•（-16a）}$
=$\frac{{a}^{3}+16}{a}$
=a²+$\frac{8}{a}$+$\frac{8}{a}$
≥3$\root{3}{{a}^{2}•\frac{8}{a}•\frac{8}{a}}$
=3×4=12，（当且仅当a=2时，“=”成立），
故答案为：12．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查基本不等式的性质，是一道中档题．