Question

（2012•许昌县一模）选修4一5：不等式选讲
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|．
（I）若a=-1，解不等式，f（x）≥3；
（II）如果对于任意实数x，恒有f（x）≥2成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（I）由函数f（x）=|x-1|+|x-a|，知当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3，根据绝对值的几何意义能求出不等式f（x）≥3的解集．
（II）对?x∈R，f（x）≥2，只需f（x）的最小值大于等于2．当a≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，f（x）_min=a-1．同理，得当a＜1时，f（x）_min=1-a，由此能求出a的取值范围．

解答：解：（I）∵函数f（x）=|x-1|+|x-a|，
∴当a=1时，不等式f（x）≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3，
根据绝对值的几何意义：
|x-1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点-1的距离之和大于或等于3，
则点x到点1和点-1的中点O的距离大于或等于

3

2

即可，
∴点x在-

3

2

或其左边及

3

2

或其右边，
即x≤-

3

2

或x≥

3

2

．
∴不等式f（x）≥3的解集为（-∞，-

3

2

]∪[

3

2

，+∞)．
（II）对?x∈R，f（x）≥2，
只需f（x）的最小值大于等于2．
当a≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|=

2x-a-1，x≥a a-1，1≤x＜a -2x+a+1，x＜1

，
∴f（x）_min=a-1．
同理，得当a＜1时，f（x）_min=1-a，
∴

a≥1 a-1≥2

或

a＜1 1-a≥2

，
解得a≥3，或a≤-1，
∴a的取值范围是（-∞，-1]∪[3，+∞）．

点评：本题考查含绝对值不等式的解法，考查实数的取值范围，综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，合理运用函数恒成立的性质进行等价转化．