Question

【题目】已知函数.

（1）若是的极值点，试研究函数的单调性，并求的极值；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）详见解析;（2）.

【解析】试题分析：（1）现求，再由是的极值点，求得的值，最后根据得到函数的单调性和极值；

（2）将不等式的恒成立问题转化为求曲线的最小值问题，对分类讨论，即可确定实数的取值范围.

试题解析：

（1）函数，定义域为，则，

若是的极值点，则，即.

∴， .

令，则，令，则，

∴在上单调递增，在上单调递减，

∴在处取得极小值，极小值为.

（2）若在上恒成立，即.

由（1）知，

（i）当时，即在上恒成立，即在上单调递减，

则，得.

（ii）当时， 时， ，

时， ，

若，即时， 在上恒成立，

则在上单调递减，∴，即时恒成立，

若，即时， 时， ， 时， .

即在上单调递减，在上单调递增，

则，得.

综上所述，实数的取值范围是.