Question

【题目】已经函数的定义域为，设

（1）试确定的取值范围，使得函数在上为单调函数

（2）求证

（3）若不等式（为正整数）对任意正实数恒成立，求的最大值.（解答过程可参考使用以下数据）

Answer 1

【答案】(1) (2)6（3）见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数导数，令得或，所以在上递增，所以要使在为单调函数，则；（2）由（1）知在处取得权小值，又，所以在的最小值为，从而当时， ，即；（3）等价于

即，记，则，由导数知在上单调递减，在上单调递增，所以， 对任意正实数恒成立，等价于，即，再利用导数研究即可.

试题解析：

（1）因为

令得或；令，得

所以在上递增，在上递减

要使在为单调函数，则

所以的取值范围为

（2）证：因为在上递增，在上递减，

所以在处取得权小值

又，所以在的最小值为

从而当时， ，即

（3）等价于

即

记，则

由 得，

所以在上单调递减，在上单调递增

所以

对任意正实数恒成立，

等价于，

即

记，则

所以在上单调递减，

又

所以的最大值为6