Question

【题目】已知函数f(x)＝(x＋1)e－x(e为自然对数的底数)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)设函数φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x，存在实数x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析 (2) (－∞，3－2e)∪.

【解析】试题分析：（1）确定函数的定义域，求导数．利用导数的正负，可得函数的单调区间；（2）假设存在，使得成立成立，则，分类讨论求最值，即可求实数的取值范围．

试题解析：(1)∵函数的定义域为，

∴当时， ；当时，

∴在上单调递增，在上单调递减．

(2)假设存在，使得成立，则.

∵

∴.

对于，当时， ， 在上单调递减，

∴，即.

②当时， ， 在上单调递增，

∴，即.

③当时，若，则， 在上单调递减；

若，则， 在上单调递增，

∴，即.(*)

由(1)知， 在上单调递减，

故，而

∴不等式(*)无解．

综上所述， 的取值范围为