Question

8．已知数列{a_n}是等差数列，c_n=a_n+2a_n+1-a_n+1a_n，（n∈N^*）．
（1）证明数列{c_n}是等差数列；
（2）如果a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k为常数），求数列{c_n}的通项公式；
（3）在（2）的条件下，若数列{c_n}的前n项和为S_n，问是否存在这样的实数k，使S_n当且仅当n=12时取得最小值，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）设等差数列{a_n}的公差为d，证明c_n+1-c_n为常数即可．
（2）由a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k为常数），相减可得：d=1-k．利用等差数列的通项公式即可得出c_n．
（3）假设存在这样的实数k，使S_n当且仅当n=12时取得最小值，则a₁=11k-1＜0，d=1-k＞0，c₁₂=（1-k）（20k+10）＜0，c₁₃=（1-k）（20k+11）＞0．解出即可得出．

解答 （1）证明：设等差数列{a_n}的公差为d，
则c_n+1-c_n=a_n+3a_n+2-a_n+2a_n+1-（a_n+2a_n+1-a_n+1a_n）=2da_n+2-2da_n+1=2d²为常数，
∴数列{c_n}是等差数列．
（2）解：∵a₁+a₃+…+a₂₃=120，a₂+a₄+…+a₂₄=132-12k，（k为常数），
∴12d=12-12k，可得d=1-k．
12a₁+$\frac{12×11}{2}×2d$=120，解得a₁=10-11d．
∴c_n=（a₃a₂-a₂a₁）+（n-1）d=2d（a₁+d）+（n-1）d=（1-k）（2a₁+n-2k+1）=（1-k）（20k+n-2）．
（3）解：假设存在这样的实数k，使S_n当且仅当n=12时取得最小值，
则a₁=10-11d=11k-1＜0，d=1-k＞0，c₁₂=（1-k）（20k+10）＜0，c₁₃=（1-k）（20k+11）＞0．
解得：-$\frac{11}{20}$$k＜-\frac{1}{2}$．
∴k的取值范围是$（-\frac{11}{20}，-\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式与求和公式及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．