Question

【题目】如图，在四棱锥中， 、、均为等边三角形， .

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）若，求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ) .

【解析】试题分析：

(Ⅰ)由题意可得，则，据此可得，

由几何关系可得，则，故平面，利用线面垂直的判定定理有.最后利用线面垂直的判定定理可得平面.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知为三棱锥的高.由几何关系计算可得， ，三棱锥转化顶点体积相等有，据此可得点到平面的距离为.

试题解析：

(Ⅰ)因为， ， 为公共边，

所以，

所以，又，

所以，且为中点.

又，所以，

又，所以，结合，

可得，

所以，

即，又，

故平面，又平面，所以.

又，所以平面.

(Ⅱ)由（Ⅰ）知平面，所以为三棱锥的高.

又、、均为等边三角形，且，

易得， ，故，

，

设点到平面的距离为，

由得，

即，解得，

所以点到平面的距离为.