Question

已知动圆过定点，且与直线相切，其中.

（I）求动圆圆心的轨迹C的方程；

（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为和，当，变化且+为定值（）时，证明直线AB恒过定点，并求出该定点的坐标.

Answer 1

解：（I）图略，设M为动圆圆心，（，0）为记为F，过点M作直线的垂线，垂足为N，

由题意知：|MF|=|MN|即动点M到定点F与定直线的距离相等，

由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（，0）为焦点，为准线，所以轨迹方程为

（II）图略，设A（），B（），由题意得（否则）且

所以直线AB的斜率存在，设其方程为，

显然，将与联立消去，得

由韦达定理知              (*)

1*    当时，即时，

，∴

由（*）式知：

因此直线AB的方程可表示为：

∴直线AB恒过定点()

2*  当时，由，得

==

将（*）式代入上式整理化简，得： ，∴，

此时，直线AB的方程可表示为：即

∴直线AB恒过定点

∴由1*、2*知，当时，直线恒过定点()，

当时直线恒过定点。