Question

直线y=

2

2

x与椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，a＞b＞0的两个交点在x轴上的射影恰为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e等于（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为M(c，

2

2

c)，N(-c，-

2

2

c)．把M代入椭圆方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

=1，又b²=a²-c²，即可得到关于a，c的方程，再利用离心率0＜e=

c

a

＜1即可得出．

解答：解：由题意及椭圆的对称性可设两个交点分别为M(c，

2

2

c)，N(-c，-

2

2

c)．
把M代入椭圆方程得

c2

a2

+

1 2 c2

b2

=1，又b²=a²-c²，
化为2c⁴-5a²c²+2a⁴=0，
∴2e⁴-5e²+2=0，
∴（2e²-1）（e²-2）=0，
∵0＜e＜1，∴2e²-1=0，解得e=

2

2

．
故选B．

点评：熟练掌握椭圆的对称性、直线与椭圆相交问题的转化、离心率计算公式是解题的关键．