Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，直线y=

2

2

x与椭圆交于A，B两点，若|AB|=

6

c（其中c=

a2-b2

），则该椭圆的离心率为（　　）

• A．

  3

  2

• B．

  3

  3

• C．

  2

  2

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：如图，由直线y=

2

2

x与椭圆交于A，B两点，|AB|=

6

c，根据椭圆的对称性得：|OA|=

6

2

c，且点A的坐标（c，

2

2

c），代入椭圆方程得到关于a，b，c的等量关系，再利用c=

a2-b2

，消去b，得出关于a，c 的等式，解之即可得该椭圆的离心率．

解答：解：如图，由直线y=

2

2

x与椭圆交于A，B两点，|AB|=

6

c，
得：|OA|=

6

2

c，且点A的坐标（c，

2

2

c），代入椭圆方程得：

c2

a2

+

( 2 2 c)2

b2

=1，又c=

a2-b2

，
∴

c2

a2

+

( 2 2 c)2

a2-c 2

=1，
解之得：

c

a

=

2

2

．
则该椭圆的离心率为

2

2

故选C．

点评：本小题主要考查函数椭圆的简单性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．