题目内容

设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是    （写出所有真命题的编号）
【答案】分析：根据题意，对每一个命题进行推导，看是否和已知条件相符．
解答：解：①：令λ=μ=1，则f（+）=f（）+f（）故①是真命题，
同理，④：令λ=k，μ=0，则f（k）=kf（）故④是真命题，
③：∵f（）=-，则有f（）=-，
f（λ+μ）=-（λ+μ）=λ•（-）+μ•（-）=λf）+μf（）是线性变换，
故③是真命题，
②：由f（）=+，则有f（）=+，
f（λ+μ）=（λ+μ）+=λ•（+）+μ•（+）-=λf（）+μf（）-
∵是单位向量，≠，故②是假命题
故答案为①③④．
点评：本题考查了向量知识的命题判断，注意向量的基本运算．
练习册系列答案
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设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，a、b∈V，则f（a+b）=f（a）+f（b）；
②若e是平面M上的单位向量，对a∈V，设f（a）=a+e，则f是平面M上的线性变换；
③对a∈V，设f（a）=-a，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，a∈V，则对任意实数k均有f（ka）=kf（a）．
其中的真命题是
 
（写出所有真命题的编号）
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，
a
∈V，记
a
的象为f(
a
)．若映射f：V→V满足：对所有
a
，
b
∈V及任意实数λ，μ都有f(λ
a
+μ
b
)=λf(
a
)+μf(
b
)，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则f(
0
)=
0

②对
a
∈V设f(
a
)=2
a
，则f是平面M上的线性变换；
③若
e
是平面M上的单位向量，对
a
∈V设f(
a
)=
a
-
e
，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，
a
，
b
∈V，若
a
，
b
共线，则f(
a
)，f(
b
)也共线．
其中真命题是
 
（写出所有真命题的序号）
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射f：V→V，a∈V，记a的象为f（a）．若映射f：V→V满足：对所有a、b∈V及任意实数λ，μ都有f（λa+μb）=λf（a）+μf（b），则f称为平面M上的线性变换．下列命题中假命题是（　　）
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射，记的象为．若映射f：V→V满足：对所有及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：
①设f是平面M上的线性变换，则
②对设，则f是平面M上的线性变换；
③若是平面M上的单位向量，对设，则f是平面M上的线性变换；
④设f是平面M上的线性变换，，若共线，则也共线．
其中真命题是    （写出所有真命题的序号）

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