题目内容
设V是已知平面M上所有向量的集合，对于映射
，记
的象为
．若映射f：V→V满足：对所有
及任意实数λ，μ都有
，则f称为平面M上的线性变换．现有下列命题：①设f是平面M上的线性变换，则
②对
设
，则f是平面M上的线性变换；③若
是平面M上的单位向量，对
设
，则f是平面M上的线性变换；④设f是平面M上的线性变换，
，若
共线，则
也共线．其中真命题是 （写出所有真命题的序号）
【答案】分析：本题考查的知识点的演绎推理，由已知中，若映射f：V→V满足：对所有
及任意实数λ，μ都有
，则f称为平面M上的线性变换．我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论．
解答：解：令
=
=
，λ=μ=1，
由题有f（
）=2f（
）⇒f（
）=
，故①正确；
由题f（λ
+μ
）=2（λ
+μ
），
λf（
）+μf（
）=2λ
+2μ
）=2（λ
+μ
），
即f（λ
+μ
）=λf（
）+μf（
），故②正确；
由题f（λ
+μ
）=λ
+μ
-
，
λf（
）+μf（
）=λ
-
+μ
-
，，
即f（λ
+μ
≠λf（
）+μf（
），故③不正确；
由题
=λ
，f（
）=f（
-λ
）=f（
）-λf（
）
⇒f（
）=λf（
），
即f（
），f（
）也共线，故④正确；
故答案为：①②④
点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
及任意实数λ，μ都有，则f称为平面M上的线性变换．我们根据其定义对题目中的四个结论进行判断，即可得到结论．解答：解：令
==，λ=μ=1，由题有f（
）=2f（）⇒f（）=，故①正确；由题f（λ
+μ）=2（λ+μ），λf（
）+μf（）=2λ+2μ）=2（λ+μ），即f（λ
+μ）=λf（）+μf（），故②正确；由题f（λ
+μ）=λ+μ-，λf（
）+μf（）=λ-+μ-，，即f（λ
+μ≠λf（）+μf（），故③不正确；由题
=λ，f（）=f（-λ）=f（）-λf（）⇒f（）=λf（），即f（
），f（）也共线，故④正确；故答案为：①②④
点评：演绎推理的主要形式就是由大前提、小前提推出结论的三段论推理．三段论推理的依据用集合论的观点来讲就是：若集合M的所有元素都具有性质P，S是M的子集，那么S中所有元素都具有性质P．三段论的公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个一般的原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况；这两个判断联合起来，揭示了一般原理和特殊情况的内在联系，从而产生了第三个判断结论．演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．
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