Question

12．设平面向$\overline{a}$=（sinx，cosx），$\overrightarrow{b}$=（$\sqrt{3}$，-1）．
（1）若$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，求tan（2x+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）若x∈[0，π]，求|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$解出x，再计算tan（2x+$\frac{π}{4}$）的值；
（2）求出$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$的坐标，计算（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²，根据x的范围利用三角函数的性质得出|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|的取值范围．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow{b}$，∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=0$，即$\sqrt{3}$sinx-cosx=0，
∴tanx=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．∴x=$\frac{π}{6}+kπ$．
∴tan（2x+$\frac{π}{4}$）=tan（$\frac{7π}{12}$+2kπ）=tan$\frac{7π}{12}$=tan（$\frac{π}{3}+\frac{π}{4}$）=$\frac{tan\frac{π}{3}+tan\frac{π}{4}}{1-tan\frac{π}{3}tan\frac{π}{4}}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}$=-2-$\sqrt{3}$．
（2）$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$=（sinx-$\sqrt{3}$，cosx+1），
∴（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²=（sinx-$\sqrt{3}$）²+（cosx+1）²=-2$\sqrt{3}$sinx+2cosx+5=4cos（x+$\frac{π}{3}$）+5．
∵x∈[0，π]，∴x+$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{4π}{3}$]．
∴当x+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{3}$时，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²取得最大值7，当x+$\frac{π}{3}$=π时，（$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$）²取得最小值1．
∴|$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}$|的取值范围是[1，$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，三角函数的图象与性质，属于中档题．