Question

求以椭圆的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线方程，并求出其离心率和渐近线方程．

Answer 1

解：由题意，椭圆的焦点坐标为（±3，0），
∴双曲线的顶点坐标为（±3，0），
∵双曲线以椭圆的顶点（±5，0）为焦点，
∴双曲线的焦点为（±5，0），
∴双曲线中，b²=c²-a²=16，
∴双曲线方程为
∴双曲线的渐近线方程为y=±x，离心率e=．
分析：先确定椭圆的焦点与顶点，从而可得双曲线的顶点与焦点，进而可求双曲线方程，并求出其离心率和渐近线方程．
点评：本题考查椭圆，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．