已知平面直角坐标系xOy中.对于点P(x0.y0).直线l:ax+by+c=0.我们称δ=$\frac{a{x} {0}+b{y} {0}+c}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$为点P(x0.y0)到直线l:ax+by+c=0的方向距离．(1)设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y2=1上的任意一点P(x.y)到直线l:x-2y=0.l:x+2y=0的方向距离分别为� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

14．已知平面直角坐标系xOy中，对于点P（x₀，y₀）、直线l：ax+by+c=0，我们称δ=$\frac{a{x}_{0}+b{y}_{0}+c}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$为点P（x₀，y₀）到直线l：ax+by+c=0的方向距离．
（1）设椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1上的任意一点P（x，y）到直线l：x-2y=0，l：x+2y=0的方向距离分别为δ₁、δ₂，求δ₁δ₂的取值范围．
（2）设点E（-t，0）、F（t，0）到直线l：xcosα+2ysinα-2=0的方程距离分别为η₁、η₂，试问是否存在实数t，对任意的α都有η₁η₂=1恒成立？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
（3）已知直线l：mx-y+n=0和椭圆H：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），设椭圆H的两个焦点F₁，F₂到直线l的方向距离分别为λ₁，λ₂，满足λ₁λ₂＞b²，且直线l与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，试比较|AB|的长与a+b的大小．

分析（1）设P（x，y）为（2cosα，sinα），0≤α＜2π，由新定义求得δ₁、δ₂，再由二倍角的余弦公式，结合余弦函数的值域即可得到所求范围；
（2）由新定义可得为η₁、η₂，假设存在t，结合恒等式的知识，同角的平方关系，可得t的值；
（3）由新定义可得λ₁，λ₂，代入λ₁λ₂＞b²，化简整理可得n²＞b²+m²a²，再由两点的距离公式，求得|AB|²=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+n²，运用不等式的性质和基本不等式，即可得到大小关系．

解答解：（1）设P（x，y）为（2cosα，sinα），0≤α＜2π，
由题意可得δ₁=$\frac{x-2y}{\sqrt{1+4}}$，δ₂=$\frac{x+2y}{\sqrt{1+4}}$，
即有δ₁δ₂=$\frac{{x}^{2}-4{y}^{2}}{5}$=$\frac{4co{s}^{2}α-4si{n}^{2}α}{5}$=$\frac{4}{5}$cos2α，
由-1≤cos2α≤1，可得δ₁δ₂的范围是[-$\frac{4}{5}$，$\frac{4}{5}$]；
（2）由题意可得η₁=$\frac{-tcosα-2}{\sqrt{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$，η₂=$\frac{tcosα-2}{\sqrt{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}}$，
假设存在实数t，对任意的α都有η₁η₂=1恒成立．
即有$\frac{4-{t}^{2}co{s}^{2}α}{co{s}^{2}α+4si{n}^{2}α}$=1，
即为4-t²cos²α=cos²α+4sin²α=4-3cos²α，
即有t²=3，解得t=±$\sqrt{3}$，
故存在，且t=±$\sqrt{3}$；
（3）设点F₁（-c，0），F₂（c，0），
由题意可得λ₁=$\frac{-mc+n}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，λ₂=$\frac{mc+n}{\sqrt{1+{m}^{2}}}$，
λ₁λ₂＞b²，即为$\frac{{n}^{2}-{m}^{2}{c}^{2}}{1+{m}^{2}}$＞b²，
即有n²-m²c²＞b²+b²m²，
即为n²-m²（a²-b²）＞b²+b²m²，
化简可得n²＞b²+m²a²，
由题意可得A（-$\frac{n}{m}$，0），B（0，n），
可得|AB|=$\sqrt{\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}+{n}^{2}}$，
由|AB|²=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+n²＞$\frac{{b}^{2}+{m}^{2}{a}^{2}}{{m}^{2}}$+b²+m²a²，
=a²+b²+$\frac{{b}^{2}}{{m}^{2}}$+m²a²≥a²+b²+2ab=（a+b）²，
即有|AB|＞a+b．