Question

19．已知数列{a_n}满足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，等比数列{b_n}的公比为3，且b₁+b₃=10．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）记c_n=$\frac{3{b}_{n}}{{a}_{n}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由数列{a_n}满足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，两边取倒数，再利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用等比数列的通项公式可得b_n，再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=2，$\frac{{a}_{n+1}}{2}$=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n}+2}$，
∴$\frac{2}{{a}_{n+1}}=1+\frac{2}{{a}_{n}}$，
化为$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列$\{\frac{1}{{a}_{n}}\}$是等差数列，首项与公差都为$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{2}+（n-1）×\frac{1}{2}$=$\frac{n}{2}$．
∴a_n=$\frac{2}{n}$．
（2）∵等比数列{b_n}的公比为3，且b₁+b₃=10．
∴${b}_{1}（1+{3}^{2}）$=10，
解得b₁=1．
∴b_n=3^n-1．
c_n=$\frac{3{b}_{n}}{{a}_{n}}$=$\frac{{n•3}^{n}}{2}$，
∴数列{c_n}的前n项和T_n=$\frac{1}{2}（3+2×{3}^{2}+…+n•{3}^{n}）$，
3T_n=$\frac{1}{2}（{3}^{2}+2×{3}^{3}+…+n•{3}^{n+1}）$，
∴-2T_n=$\frac{1}{2}（3+{3}^{2}+…+{3}^{n}-n•{3}^{n+1}）$=$\frac{1}{2}（\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}-n•{3}^{n+1}）$，
化为T_n=$\frac{2n-1}{8}•{3}^{n+1}$+$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查了“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．