Question

17．如图所示，过点M（-2，0）作直线1交双曲线x²-y²=1于A，B两点，0为原点，以OA，OB为一组邻边作平行四边形OAPB．
（1）试求点P的轨迹方程；
（2）是否存在这样的直线l，使四边形OAPB为矩形，若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率存在时，和双曲线方程联立后利用根与系数关系，求出AB的中点，可得P的轨迹方程；当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，同样满足；
（2）分类讨论，利用x₁x₂+y₁y₂=0，进一步得到（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，把两根的和与积代入后整理得到矛盾的式子，从而得到结论．

解答 解：（1）设直线l的方程为y=k（x+2），代入双曲线x²-y²=1，可得（1-k²）x²-4k²x-4k²-1=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y₁+y₂=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴AB的中点为（$\frac{2{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$），
设P（x，y），则x=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，y=$\frac{4k}{1-{k}^{2}}$
∴x²+4x-y²=0；
当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，把x=-2代入双曲线x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），P（-4，0）同样满足；
（2）当过M（-2，0）的直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，把x=-2代入双曲线x²-y²=1得，A（-2，$\sqrt{3}$），B（-2，-$\sqrt{3}$），此时不满足∠AOB=90°，
当过M（-2，0）的直线l的斜率存在时，x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-{k}^{2}}$，
若∠AOB=90°，则x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）（-$\frac{4{k}^{2}+1}{1-{k}^{2}}$）+2k²•$\frac{4{k}^{2}}{1-{k}^{2}}$+4k²=0
整理得，9k²+1=0．此式显然不成立．
所以，不存在使∠AOB=90°的直线l．

点评 本题考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的关系问题，常用“设而不求的”解题方法，即利用一元二次方程的根与系数关系求得直线与圆锥曲线的两个交点的横坐标的和与积，此题考查了分类讨论的数学思想方法，是中档题．