Question

已知向量

a

=(-1， cosx)，

b

=(

3

2

， sinx)．
（1）当

a

∥

b

时，求2cos²x-sin2x的值；
（2）求f(x)=(

a

+

b

)•

b

在[-

π

2

， 0]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）由平行关系易得tanx=-

3

2

，然后化要求的式子为正切函数，代入可得；（2）结合三角函数的运算公式易得函数为f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

5

4

，逐步由x的范围可得．

解答：解：（1）∵

a

∥

b

，

3

2

cosx+sinx=0（2分）
∴tanx=-

3

2

（4分）
∴2cos2x-sin2x=

2cos2x-2sinxcosx

sin2x+cos2x

=

2-2tanx

1+tan2x

=

20

13

（7分）  
（2）∵

a

+

b

=（

1

2

，cosx+sinx），
∴f(x)=(

a

+

b

)•

b

=

1

2

×

3

2

+（cosx+sinx）sinx
=

1

2

sin2x-

1

2

cos2x+

5

4

=

2

2

sin(2x-

π

4

)+

5

4

（10分）
∵-

π

2

≤x≤0，∴-

5π

4

≤2x-

π

4

≤-

π

4

∴-1≤sin(2x-

π

4

)≤

2

2

，
∴-

2

2

+

5

4

≤f(x)≤

7

4

，
∴f(x)max=

7

4

（12分）

点评：本题考查平面向量的平行关系和数量积的运算，涉及三角函数的和差角的公式即取值范围，属中档题．