Question

16．在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n+1=3a_n+2n-1．
（1）求证：数列{a_n+n}为等比数列；
（2）记b_n=a_n+（1-λ）n，且数列{b_n}的前n项和为T_n，若T₃为数列{T_n}中的最小项，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n+2n-1，整理得：a_n+1+n+1=3（a_n+n）．由a_n+n＞0，$\frac{{{a_{n+1}}+n+1}}{{{a_n}+n}}=3$，可知{a_n+n}是以3为首项，公比为3的等比数列；
（2）由（1）求得数列{b_n}通项公式及前n项和为T_n，由T₃为数列{T_n}中的最小项，则对?n∈N^*有$\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ≥39-6λ$恒成立，分类分别求得当n=1时和当n=2λ的取值范围，
当n≥4时，$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$，利用做差法，根据函数的单调性，即可求得λ的取值范围．

解答 解：（1）证明：∵a_n+1=3a_n+2n-1，
∴a_n+1+n+1=3（a_n+n）．
又a₁=2，
∴a_n＞0，a_n+n＞0，
故$\frac{{{a_{n+1}}+n+1}}{{{a_n}+n}}=3$，
∴{a_n+n}是以3为首项，公比为3的等比数列    …（4分）
（2）由（1）知道${a_n}+n={3^n}$，b_n=a_n+（1-λ）n，
∴${b_n}={3^n}-nλ$．…（6分）
∴${T_n}={3^1}+{3^2}+…+{3^n}-（1+2+3+…+n）λ=\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ$．…（8分）
若T₃为数列{T_n}中的最小项，则对?n∈N^*有$\frac{3}{2}（{3^n}-1）-\frac{n（n+1）}{2}λ≥39-6λ$恒成立，
即3ⁿ⁺¹-81≥（n²+n-12）λ对?n∈N^*恒成立           …（10分）
1°当n=1时，有${T_1}≥{T_3}⇒λ≥\frac{36}{5}$；
2°当n=2时，有T₂≥T₃⇒λ≥9；                       …（12分）
3°当n≥4时，n²+n-12=（n+4）（n-3）＞0恒成立，
∴$λ≤\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$对?n≥4恒成立．
令$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$，则$f（n+1）-f（n）=\frac{{{3^{n+1}}（2{n^2}-26）+162（n+1）}}{{（{n^2}+3n-10）（{n^2}+n-12）}}＞0$对?n≥4恒成立，
∴$f（n）=\frac{{{3^{n+1}}-81}}{{n{\;}^2+n-12}}$在n≥4时为单调递增数列．
∴λ≤f（4），即$λ≤\frac{81}{4}$．…（15分）
综上，$9≤λ≤\frac{81}{4}$．…（16分）

点评 本题考查等差数列和等比数列的性质，考查数列的前n项和公式，数列与不等式结合，利用函数的单调性，求最值，考查计算能力，属于难题．