Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{4}$x³-$\frac{3}{4}$x-$\frac{7}{2}$．x∈[0，2]．
（I）求f（x）的单调区间与最值；
（II）设a＞0，函数g（x）=x³-3a²x-2a，x∈[0，1]，若对任意的x₁∈[0，2]总存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用导数判断f（x）的单调性，由单调性可求得最小值，比较端点处函数值可得最大值；
（Ⅱ）问题等价于f（x）的值域为g（x）的值域的子集，利用导数可分别求得两函数的值域，根据集合包含关系可得不等式组，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{3}{4}$x²-$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{4}$（x+1）（x-1），
令f′（x）=0，解得x=1，
当f′（x）＞0时，即1＜x≤2，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即0≤＜x＜1，函数单调递减，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{4}$-$\frac{3}{4}$-$\frac{7}{2}$=-4，
∵f（0）=-$\frac{7}{2}$，f（2）=$\frac{8}{4}$-$\frac{6}{4}$-$\frac{7}{2}$-3，
∴f（x）_max=f（2）=-3．
（Ⅱ）g′（x）=3x²-3a²=3（x+a）（x-a），
令g′（x）=0，解得x=a或-a，
当a≥1时，x∈[0，1]，g′（x）≤0恒成立，
∴g（x）在[0，1]上为减函数；
∴g（x）∈[1-3a²-2a，-2a]，
由（Ⅰ）知f（x）∈[-4，-3]，
∵对任意的x₁∈[0，2]总存在x₀∈[0，1]使得g（x₀）=f（x₁）成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-3{a}^{2}-2a≤-4}\\{-2a≥-3}\end{array}\right.$，
解得1≤a≤$\frac{3}{2}$，
故a的取值范围为[1，$\frac{3}{2}$]

点评 本题考查利用导数研究函数的最值，考查分类讨论思想转化思想，考查学生解决问题的能力，属于中档题．