Question

已知α∈(0，

π

2

)，β∈(

π

2

，π)，cos2β=-

7

9

，sin(α+β)=

7

9

．
（Ⅰ）求cosβ的值；
（Ⅱ）求sinα的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据β的范围，确定cosβ＜0，直接利用二倍角的余弦，求cosβ的值；
（Ⅱ）根据（Ⅰ），求出sinβ，再求出cos(α+β)=-

4 2

9

，通过sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ求sinα的值．

解答：解：（Ⅰ）因为β∈(

π

2

，π)，cosβ＜0（2分）
又cos2β=2cos2β-1=-

7

9

，所以cosβ=-

1

3

（6分）
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sinβ=

1-cos2β

=

2 2

3

（8分）
而α+β∈(

π

2

，

3π

2

)，且sin(α+β)=

7

9

，
所以cos(α+β)=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

故sinα=sin[（α+β）-β]=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ（12分）
=

7

9

×(-

1

3

)-(-

4 2

9

)×

2 2

3

=

1

3

（14分）

点评：本题是基础题，考查二倍角的余弦，平方关系的应用，角的变换技巧，注意角的范围与三角函数值的符号，是解题中需要注意的．