Question

函数f(x)=x+

a

x

（x＞0，a＞0）．
（1）当a=1时，证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数；
（2）若f（x）在（0，2）上是减函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，由x＞1可得f′（x）＞0，从而得f（x）在（1，+∞）上是增函数．
（2）先求出f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，由题意可得当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，故a≥2²=4．

解答：证明：（1）当a=1时，f(x)=x+

1

x

（x＞0，a＞0），f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

．…（2分）
∵x＞1，∴x²＞1，即 x²-1＞0，∴

x2-1

x2

＞0，即 f′（x）＞0，…（5分）
∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．   …（6分）
（2）f′（x）=1-

a

x2

=

x2-a

x2

，…（7分）
使f（x）在（0，2）上是减函数，则当x∈（0，2）时，x²-a≤0恒成立，…（9分）
即a≥x²恒成立，即a≥2²=4，∴a≥4．    …（12分）

点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及函数的恒成立问题，属于中档题．