题目内容

设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
（1）因为f（x）=a2x2，所以f′（x）=2a2x，令f′（x）=2a2x=1
得：x=
1
2a2
，此时y=
1
4a2
，
则点(
1
2a2
，
1
4a2
)到直线x-y-3=0的距离为2
2
，
即2
2
=
|
1
2a2
-
1
4a2
-3|
2
，解之得a=
7
14
．
（2）不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，
等价于（1-a2）x2-2x+1＞0恰有三个整数解，故1-a2＜0，
令h（x）=（1-a2）x2-2x+1，由h（0）=1＞0且h（1）=-a2＜0（a＞0），
所以函数h（x）=（1-a2）x2-2x+1的一个零点在区间（0，1），
则另一个零点一定在区间（-3，-2），这是因为此时不等式解集中有-2，-2，0恰好三个整数解
故
h(-2)＞0
h(-3)≤0
解之得
4
3
≤a＜
3
2
．
（3）设F(x)=f(x)-g(x)=
1
2
x2-elnx，
则F′(x)=x-
e
x
=
x2-e
x
=
(x-
e
)(x+
e
)
x
．
所以当0＜x＜
e
时，F′（x）＜0；当x＞
e
时，F′（x）＞0．
因此x=
e
时，F（x）取得最小值0，
则f（x）与g（x）的图象在x=
e
处有公共点(
e
，
e
2
)．
设f（x）与g（x）存在“分界线”，
方程为y-
e
2
=k(x-
e
)，即y=kx+
e
2
-k
e
，
由f(x)≥kx+
e
2
-k
e
在x∈R恒成立，
则x2-2kx-e+2k
e
≥0在x∈R恒成立．
所以△=4k2-4(2k
e
-e)=4k2-8k
e
+4e=4(k-
e
)2≤0成立，
因此k=
e
．
下面证明g(x)≤
e
x-
e
2
(x＞0)恒成立．
设G(x)=elnx-x
e
+
e
2
，则G′(x)=
e
x
-
e
=
e
(
e
-x)
x
．
所以当0＜x＜
e
时，G′（x）＞0；当x＞
e
时，G′（x）＜0．
因此x=
e
时G（x）取得最大值0，则f(x)≤
e
x-
e
2
(x＞0)成立．
故所求“分界线”方程为：y=
e
x-
e
2
．
练习册系列答案
相关题目
设函数f（x）=x-aex-1．
（Ⅰ）求函数f（x）单调区间；
（Ⅱ）若f（x）≤0对x∈R恒成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）对任意n的个正整数a1，a2，…an记A=
a1+a2+…+an
n

（1）求证：
ai
A
≤e
ai
A
-1（i=1，2，3…n）（2）求证：A≥
na1a2…an
．
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
q
q-1
(an-1)（q是常数且q＞0，q≠1，）．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）当q=
1
3
时，试证明a1+a2+…+an＜
1
2
；
（3）设函数f（x）=logqx，bn=f（a1）+f（a2）+…+f（an），是否存在正整数m，使
1
b1
+
1
b2
+…+
1
bn
≥
m
3
对任意n∈N*都成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由．
设函数f（x）=ax2+bx+c（a＞0），且f（1）=-
a2
．
（1）求证：函数f（x）有两个零点．
（2）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，求|x1-x2|的范围．
（3）求证：函数f（x）的零点x1，x2至少有一个在区间（0，2）内．
设函数f（x）=|x+1|+|x+2|+…+|x+2010|+|x-1|+|x-2|+…+|x-2010|（x∈R）四位同学研究得出如下四个命题，其中真命题的有（　　）个
①f（x）是偶函数；
②f（x）在（0，+∞）单调递增；
③不等式f（x）＜2010×2011的解集为∅；
④关于实数a的方程f（a2-3a+2）=f（a-1）有无数解．
（2006•杭州一模）设函数f（x）=
x2
ax-2
（a∈N*），又存在非零自然数m，使得f（m）=m，f（-m）＜-
1
m
成立．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设{an}是各项非零的数列，若f(
1
an
)=
1
4(a1+a2+…+an)
对任意n∈N*成立，求数列{an}的一个通项公式；
（3）在（2）的条件下，数列{an}是否惟一确定？请给出判断，并予以证明．

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