Question

已知f（x）=log₃，x∈（0，+∞），是否存在实数a、b，使f（x）同时满足下列两个条件：
（1）f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数；
（2）f（x）的最小值是1，若存在，求出a、b，若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】分析：法一：设g（x）=，由f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数可知g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，再由f（x）的最小值是1可知，据此可以求出两个条件的实数a和b．
法二：因为底数3＞1，故原函数的单调性与 u=（x²^2+ax+b）的单调性相同，（x＞0），u=x++a．当b=0时，u=x+a是增函数，与题意不符当b＜0时，u=x++a也是增函数，也不符．故b＞0．由此能求出a=1，b=1．
解答：解法一：存在实数a、b，使f（x）同时满足两个条件．具体求解过程如下：
设g（x）=，
∵f（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴g（x）在（0，1）上是减函数，在[1，+∞）上是增函数，
∴，∴，解得
经检验，a=1，b=1时，f（x）满足题设的两个条件．
解法二：因为底数3＞1
故原函数的单调性与 u=（x²^2+ax+b）的单调性相同，（x＞0）
u=x++a
当b=0时，u=x+a是增函数，与题意不符
当b＜0时，u=x++a也是增函数，也不符
故b＞0
u=x++a≥2+a（当且仅当x=时取等号）
该函数在（0，）减，在（，+∞）增
故：=1，b=1
f（x）的最小值是log₃（2+a）=1
a+2=3，a=1
综上：a=1，b=1．
点评：求解存在性问题时，要注意挖掘题设中的隐含条件，从而建立起适当的方程或方程组，使问题得以解决．