Question

如图所示，平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两

两夹角为60°.

(1)求AC₁的长；

（2）求BD₁与AC夹角的余弦值.

Answer 1

(1) AC₁的长为 (2) AC与BD₁夹角的余弦值为

解析:

记=a，=b，=c，

则|a|=|b|=|c|=1，〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,

∴a·b=b·c=c·a=.

（1）||²=（a+b+c）²

=a²+b²+c²+2（a·b+b·c+c·a）

=1+1+1+2×(++)=6,

∴||=,即AC₁的长为.

(2)=b+c-a,=a+b,

∴||=,||=,

·=（b+c-a）·（a+b）

=b²-a²+a·c+b·c=1.

∴cos〈,〉==.

∴AC与BD₁夹角的余弦值为.