Question

在△ABC中，cosB=，cosC=-．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）求向量+与的夹角．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由cosB和cosC的值，及B和C都为三角形的内角，利用同角三角函数间的基本关系分别求出sinB和sinC的值，再根据三角形的内角和定理及诱导公式得到sinA=sin（B+C），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入求出sin（B+C）的值，即为sinA的值；
（Ⅱ）由第一问求出的sinB和sinC的值，利用正弦定理得到c=3b，即为||=3||，同时由cosC的值小于0，得到C为钝角，可得A为锐角，由第一问求出的sinA的值，利用特殊角的三角函数值求出A的度数，即为与两向量的夹角，利用化简公式=|a|，化简|+|，利用完全平方公式展开后，根据模的定义及平面向量的数量积运算化简，将||=3||代入，开方后用||表示出即为|+|，设所求两向量的夹角为α，根据平面向量的数量积运算积运算法则表示出cosα，利用平面向量的数量积运算化简后，将||=3||代入，约分后得到cosα的值，由α的范围，利用反三角函数即可表示出α，即为向量+与的夹角．
解答：解：（Ⅰ）∵cosB=，且B为三角形的内角，
∴sinB==，…（2分）
又cosC=-，且C为三角形的内角，
∴sinC==，…（4分）
则sinA=sin[π-（B+C）]=sin（B+C）
=sinBcosC+cosBsinC=×（-）+×=；…（6分）
（Ⅱ）∵sinB=，sinC=，
由正弦定理=得：c=3b，即||=3||，…（8分）
由（Ⅰ）知sinA=，且C为钝角，得到A=，
∴与的夹角为，
|+|==
==||，…（10分）
设向量+与的夹角为α，
∴cosα====，…（12分）
则α=arccos．…（13分）
点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．