Question

【题目】已知椭圆：，其离心率为，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于.

（1）求椭圆的方程；

（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴相交于点，过原点与平行的直线与椭圆相交于两点，问是否存在常数，使恒成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）由椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于求得，再由离心率为求得，问题得解。

（2）设直线的方程为,分别表示出点M,N的坐标，从而表示出，联立直线与椭圆方程，即可表示出，问题得解。

（1）由题意设圆的半径等于，

圆心到直线的距离为，

∴，，

∵离心率

∴，

∴，

∴题意的方程为.

（2）由（1）知点坐标为，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，则，由，

得，

设，

则由题意可知，，

∴，

，

∴

直线方程为，由，

得，

设，

则，

∴，

∴存在常数，使恒成立.