Question

在△ABC中，设角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠C=60°，c=

3

．
（Ⅰ）求

a+2 3 cosA

sinB

的值；
（Ⅱ）若sinA=

3

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）在△ABC中，由正弦定理可得

c

sinC

=

3

3 2

=2r，可得r=1．代入要求的式子利用两角和差的正弦公式、诱导公式求得结果．
（2）由正弦定理求得 a=

2 3

3

，再利用同角三角函数的基本关系求得cosA 的值，再利用两角和差的正弦公式、诱导公式求出 sinB，再由△ABC的面积等于

1

2

•ac•sinB，运算
求得结果．

解答：解：（1）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，∠C=60°，c=

3

．
由正弦定理可得

c

sinC

=

3

3 2

=2r，∴r=1．
∴

a+2 3 cosA

sinB

=

2sinA+2 3 cosA

sin( 2π 3 -A)

=

4( 1 2 sinA+ 3 2 cosA)

sin( π 3 +A)

=

4sin(A+ π 3 )

sin( π 3 +A)

=4．
（2）若sinA=

3

3

，由正弦定理可得

c

sinC

=

a

sinA

，即

3

3 2

=

a

3 3

，故 a=

2 3

3

，易得A为锐角，故cosA=

6

3

．
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=

3

3

×

1

2

+

6

3

×

3

2

=

3 +3 2

6

．
∴△ABC的面积等于

1

2

•ac•sinB=

1

2

×

2 3

3

×

3

•

3 +3 2

6

=

3 +3 2

6

．

点评：本题主要考查余弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，两角和差的正弦公式、诱导公式的应用，属于中档题．