Question

在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

cosC

cosB

=

3a-c

b

，
（1）求sinB的值；
（2）若b=4

2

，且a=c，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）通过正弦定理把

cosC

cosB

=

3a-c

b

中的边换成角的正弦值，化简求得cosB，进而求得sinB．
（2）通过余弦定理求得c，代入三角形的面积公式，进而求得△ABC的面积．

解答：解：（1）由正弦定理，得

cosC

cosB

=

3sinA-sinC

sinB

即sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB
∴sin（B+C）=3sinAcosB
∵A+B+C=180°
∴sinA=3sinAcosB
∵0°＜A＜180°
∴cosB=

1

3

∴sinB=

2

3

2

（2）由余弦定理，cosB=

a2+c2-b2

2ac

，再由b=4

2

，a=c，cosB=

1

3

得c²=24
∴S_△ABC=

1

2

acsinB=

1

2

c²sinB=8

2

点评：本题主要考查了余弦定理和三角形面积公式．属基础题．