题目内容

把函数f（x）=sin2x-2sinxcosx+3cos2x（x∈R）的图象按向量
a
=(m，0)(m＞0)平移，所得函数y=g（x）的图象关于直线x=
17
8
π对称．
（1）设有不等的实数x1、x2∈（0，π），且f（x1）=f（x2）=1，求x1+x2的值；
（2）求m的最小值；
（3）当m取最小值时，求函数y=g（x）的单调递增区间．
分析：（1）f(x)=
2
cos(2x+
π
4
)+2，由f（x1）=f（x2）=1得到cos(2x1 +
π
4
)=  -
2
2
，cos(2x2+
π
4
)=-
2
2
，
故 x=
x1+x2
2
 过函数图象的最低点，可得 x1+x2=
3π
4
．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则
x-x1=m
y-y1=0
，由于 y=
2
cos(2x-2m+
π
4
)+2 关于 x=
17
8
π对称，可得 2
17
8
π-2m+
π
4
=kπ，mmin=
π
4
．
（3）g(x)=
2
cos(2x-
π
4
)+2，由  2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，求出函数y=g（x）的单调递增区间．
解答：解：（1）f（x）=cos2x-sin2x+2，∴f(x)=
2
cos(2x+
π
4
)+2，∵f（x1）=f（x2）=1，
∴cos(2x1 +
π
4
)=  -
2
2
，cos(2x2+
π
4
)=-
2
2
，故 x=
x1+x2
2
 过函数图象的最低点，
∴x1+x2=
3π
4
．
（2）移后的表达式用（x，y）表示，则
x-x1=m
y-y1=0
，∴
x1=x-m
y1=y
．
由于 y=
2
cos(2x-2m+
π
4
)+2 关于 x=
17
8
π对称，∴2
17
8
π-2m+
π
4
=kπ，
∴m=
9π
4
-
kπ
2
，k∈Z，∴mmin=
π
4
 解得k=4．
（3）g(x)=
2
cos(2x-
π
4
)+2，由  2kπ-
π
2
≤2x-
π
4
≤2kπ+
π
2
，k∈z，解得
kπ-
π
8
≤x≤kπ+
3π
8
，故函数的减区间为 [kπ-
π
8
，kπ+
3π
8
]，k∈Z．
点评：本题考查余弦函数的单调性、对称性，y=Asin（ωx+∅）的图象的变换，求出g（x）的解析式，是解题的难点．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f（x）=sin2ωx+
3
cosωxcos（
π
2
-ωx）（ω＞0），且函数y=f（x）的图象相邻两条对称轴之间的距为
π
2
．
（1）求f（
π
6
）的值．
（2）若函数 f（kx+
π
12
）（k＞0）在区间[-
π
6
，
π
3
]上单调递增，求k的取值范围．
已知函数f（x）=sin2ωx+
3
sinωxsin（ωx+
π
2
）+2cos2ωx，x∈R（ω＞0），在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为
π
6
．
（1）求f（x）的对称轴方程；
（2）求f（x）的单调递增区间．
已知a，x∈R，函数f(x)=sin2x-(2
2
+
2
a)sin(x+
π
4
)-
2
2
cos(x-
π
4
)
．
（1）设t=sinx+cosx，把函数f（x）表示为关于t的函数g（t），求g（t）表达式和定义域；
（2）对任意x∈[0，
π
2
]，函数f（x）＞-3-2a恒成立，求a的取值范围．
已知函数f（x）=x2+3x|x-a|，其中a∈R．
（1）当a=2时，把函数f（x）写成分段函数的形式，并画出函数f（x）的图象；
（2）问是否存在正数a，使得函数f（x）在区间（1，3）上既有最大值又有最小值．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．
设函数f(x)=sin2x+
3
sinxcosx+1(x∈R)．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，
π
2
]，求函数f（x）的最大值和最小值；
（Ⅲ）若把函数f（x）的图象按向量a平移后所得函数为奇函数，求使得|a|最小的a．

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