Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，BD=
（I）求证：BD⊥平面PAC；
（II）求二面角P-CD-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（I）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．
（II）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可．
解答：解：（I）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0），D（0，4，0），P（0，0，4），
在Rt△BAD中，AD=4，BD=4，
∴AB=4，
所以B（4，0，0），C（4，4，0），
∴=（-4，4，0）
∵=0
即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=4，
∴BD⊥平面PAC．
（II）：由（I）得=（-4，0，0）．
设平面PCD的法向量为=0，
即
解得
所以=，
因为
设二面角P-CD-B的大小为θ，
依题意可得 ．
点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．