Question

如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=2

3

．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）取AC中点E，连DE、BE，证明AC⊥平面DEB，即可证得结论；
（Ⅱ）求得∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE延长线上，∠DBE即为BD与底面ABC所成的角，求出BD，利用正弦定理，可得结论．

解答：（Ⅰ）证明：取AC中点E，连DE、BE，
则DE∥PC，PC⊥AC
∴DE⊥AC …（2分）
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD?平面BED
∴AC⊥BD                             …（5分）  
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°
又AB=2

3

其中线 BE=

3

2

AB=3DE=

1

2

PC=1
∵AC⊥平面BDE，AC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上  
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角         …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE•DEcos120°=13，∴BD=

13

由正弦定理：

DE

sin∠DBE

=

13

sin120°

，
∴sin∠DBE=

39

26

，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为

39

26

…（12分）

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，正确运用线面垂直的判定定理，作出线面角是关键．