Question

已知数列{a_n}满足a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

2 n

（其中n∈N^*），a₁≠0，且a_n+a_n-1≠0．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列bn=n•2an，{b_n}的前n项和为T_n，若对于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题设知Sn=

an

2

(an+1)，故a1=

a1

2

(a1+1)，解得a₁=1；1+a2=

a2

2

(a2+1)，解得a₂=2，或a₂=-1（舍）3+a3=

a3

2

(a3+1)，解得a₃=3，或a₃=-2（舍）．由此猜想：a_n=n．用数学归纳法能够进行证明．
（Ⅱ）由a_n=n，知bn=n•2an=n•2ⁿ，故T_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，由错位相减法能够求出结果．

解答：解：（Ⅰ）∵数列{a_n}满足a1+a2+…+an=

an

2

+

1

2

a

2 n

（其中n∈N^*），a₁≠0，且a_n+a_n-1≠0，
∴Sn=

an

2

(an+1)，
∴a1=

a1

2

(a1+1)，解得a₁=1；
1+a2=

a2

2

(a2+1)，解得a₂=2，或a₂=-1（舍）
3+a3=

a3

2

(a3+1)，解得a₃=3，或a₃=-2（舍）．
由此猜想：a_n=n．
用数学归纳法证明：
①n=1时，a₁=1，成立；
②假设n=k时，等式成立，即：a_k=k，
当n=k+1时，1+2+3+…+k+ak+1=

ak+1

2

(ak+1 +1)，
∴ak+12-ak+1-k(k+1)=0，
∴a_k+1=k+1，或a_k+1=-k（舍），也成立，
由①②知，a_n=n．
（Ⅱ）∵a_n=n，∴bn=n•2an=n•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=2+2×2²+3×2³+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
∴2Tn=22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，②
∴①-②，得-T_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n×2ⁿ⁺¹
=

2×(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺¹，
∴Tn=2+(n-1)•2n+1．
∵对于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，
∴对于任意n∈N^*，都有2+（n-1）•2ⁿ⁺¹＞log_m（m+1）成立，
∵当n=1时，2+（n-1）•2ⁿ⁺¹取最小值2，
∴log_m（m+1）＜2=logmm2，
当m＞1时，m+1＜m²，解得m＞

1+ 5

2

；
当0＜m＜1时，m+1＞m²，解得0＜m＜1．
故实数m的取值范围是（0，1）∪(

1+ 5

2

，+∞)．

点评：本题考查{a_n}的通项公式的求法，设数列bn=n•2an，{b_n}的前n项和为T_n，若对于任意n∈N^*，都有T_n＞log_m（m+1）成立，求实数m的取值范围．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．