Question

【题目】已知圆：，过且与圆相切的动圆圆心为.

（1）求点的轨迹的方程；

（2）设过点的直线交曲线于，两点，过点的直线交曲线于，两点，且，垂足为（，，，为不同的四个点）.

①设，证明：；

②求四边形的面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①见解析.②.

【解析】试题分析：

（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，由题意可得 ，则点的轨迹是椭圆，其方程为.

（2）①由题意可知，而，，，为不同的四个点，故.

②若或的斜率不存在，四边形的面积为.否则，设的方程为，联立直线方程与椭圆方程可得，同理得，则 ，当且仅当时等号成立.则四边形的面积取得最小值为.

试题解析：

（1）设动圆半径为，由于在圆内，圆与圆内切，

则，， ，

由椭圆定义可知，点的轨迹是椭圆，，，，

的方程为.

（2）①证明：由已知条件可知，垂足在以为直径的圆周上，

则有，

又因，，，为不同的四个点，.

②解：若或的斜率不存在，四边形的面积为.

若两条直线的斜率存在，设的斜率为，

则的方程为，

解方程组，得 ，

则，

同理得，

∴ ，

当且仅当，即时等号成立.

综上所述，当时，四边形的面积取得最小值为.