Question

在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，过点的直线的参数方程为（为参数），直线与曲线相交于两点．

（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；

（Ⅱ）若，求的值

Answer 1

 解：(1) 由ρsin2θ=2acosθ(a>0)得ρ2sin2θ=2aρcosθ(a>0)

∴曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a>0)………………………2分

直线l的普通方程为y=x-2…………………………………4分

(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2=2ax中，

得t2-2(4+a)t+8(4+a)=0

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2

则有t1+t2=2(4+a), t1t2=8(4+a)……………………………6分

∵|PA|×|PB|=|AB|2,∴t1t2=(t1-t2)2, 即(t1+t2)2=5t1t2……………8分

∴[2(4+a)]2=40(4+a)，即a2+3a-4=0

解之得：a=1或a=-4(舍去)，∴a的值为1…………………10分