Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n=2n-1
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（II）求数列{S_n•${a}_{n}^{n}$}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用递推关系即可得出．
（II）利用“错位相减法”、等比数列的求和公式即可得出．

解答 解：（I）∵S_n=2n-1，∴n=1时，a₁=S₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n-1-[2（n-1）-1]=2，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{2，n≥2}\end{array}\right.$．
（II）S_n•${a}_{n}^{n}$=（2n-1）•2ⁿ．
∴数列{S_n•${a}_{n}^{n}$}的前n项和T_n=2+3×2²+5×2³+…+（2n-1）•2ⁿ．
2T_n=2²+3×2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
∴-T_n=2+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2+2×$\frac{4（{2}^{n-1}-1）}{2-1}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹=（3-2n）×2ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（2n-3）×2ⁿ⁺¹+6．

点评 本题考查了“错位相减法”、等比数列的求和公式、递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．