Question

3．某人摆一个摊位卖小商品，一周内出摊天数x与盈利y（百元），之间的一组数据关系见表：

x	2	3	4	5	6
y	2.2	3.8	5.5	6.5	7.0

已知$\sum_{i=1}^5{x_i^2}$=90，$\sum_{i=1}^5{{x_i}{y_i}}$=112.3，
（Ⅰ）计算$\overline x$，$\overline y$，并求出线性回归方程；
（Ⅱ）在第（Ⅰ）问条件下，估计该摊主每周7天要是天天出摊，盈利为多少？
（参考公式：b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{n}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，a=$\overline{y}$-b$\overline{x}$．）

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出横标和纵标的平均数，求出系数，再求出a的值，即可求出回归方程；
（Ⅱ）该摊主每周7天要是天天出摊，x=7代入回归直线方程，求出y即可推算盈利的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5．
b=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$=$\frac{112.3-5×4×5}{90-5×{4}^{2}}$=1.23
所以$\hat a=\overline y-\hat b\overline x=5-1.23×4=0.08$…
故所求回归直线方程为$\widehaty=\widehatbx+\widehata=1.23x+0.08$．…（8分）
（Ⅱ）当x=7时，y=1.23×7+0.08=8.69．
所以，该摊主每周7天要是天天出摊，估计盈利为8.69（百元）．…（12分）

点评 本题考查线性回归方程的求法和应用，本题解题的关键是利用最小二乘法做出线性回归方程的系数．