Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）=0，$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，且a+c=4，试求b的值．

Answer 1

分析 （1）利用两角和与差的余弦展开，再由辅助角公式化简，由周期公式求得ω，则f（x）的解析式可求；
（2）把f（B）=0代入函数解析式，求得B，展开数量积$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=$\frac{3}{2}$，求得ac的值，结合a+c=4，利用余弦定理求得b的值．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sinωx+cos（ωx+$\frac{π}{3}$）+cos（ωx-$\frac{π}{3}$）-1
$\sqrt{3}sinωx+cosωxcos\frac{π}{3}-sinωxsin\frac{π}{3}$$+cosωxcos\frac{π}{3}+sinωxsin\frac{π}{3}-1$
=$\sqrt{3}sinωx+cosωx-1$=$2sin（ωx+\frac{π}{6}）-1$．
∵T=$\frac{2π}{ω}=π$，∴ω=2．
则f（x）=2sin（2x$\frac{π}{6}$）-1；
（2）由f（B）=$2sin（2B+\frac{π}{6}）-1$=0，得$sin（2B+\frac{π}{6}）=\frac{1}{2}$．
∴$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{π}{6}$或$2B+\frac{π}{6}=2kπ+\frac{5π}{6}$，k∈Z．
∵B是三角形内角，∴B=$\frac{π}{3}$．
而$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}$=ac•cosB=$\frac{3}{2}$，∴ac=3．
又a+c=4，∴a²+c²=（a+c）²-2ac=16-2×3=10．
∴b²=a²+c²-2ac•cosB=7．
则b=$\sqrt{7}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了平面向量的数量积运算，训练了利用余弦定理求解三角形，是中档题．